George Cantor, întemeietorul "aritmeticii infinitului", a propus o metodă pentru a face comparația între două infinități: dacă putem face perechi din obiectele cuprinse în două grupe infinite...? (mai mult)

Question

George Cantor, întemeietorul "aritmeticii infinitului", a propus o metodă pentru a face comparația între două infinități: dacă putem face perechi din obiectele cuprinse în două grupe infinite așa încât fiecare obiect dintr-o colecție infinită să-și găsească pereche în fiecare obiect dintr-o altă colecție infinită și în niciuna din grupe nu rămâne niciun obiect singur, înseamnă că cele două infinități sunt egale.
Aplicând această regulă, putem spune, de exemplu, că infinitatea numerelor cu soț este egală cu infinitatea numerelor fără soț. Dar, ce credeți:
1. Care este mai mare: numărul tuturor numerelor atât cu soț cât și fără soț sau numai numărul numerelor cu soț?
2. Există vreun sens în întrebarea: "Este numărul tuturor numerelor mai mare sau mai mic decât numărul tuturor punctelor de pe o linie?"

Rd79 · Accepted Answer

E o metoda, da rnu singura. Uite, sa-ti dau un exemplu de alta metoda.
Sa presupunem ca ai un infinit de monezi. Si eu vin si-ti cer sa-mi dai toate monezile cu un numar par (a doua, a 4a, etc). Tu-mi vei da un infinit de monezi si iti vor ramane tot un infinit. Deci un infinit - un infinit = un infinit.

Ok, acum sa presupunem ca ai u infinit de monezi, dar de data asta iti cer sa-mi dai toate monezile cu un numar mai mare decat 3.     Eu voi avea un infinit de monezi, tu vei ramane cu 3.
Deci, un infinit - un infinit = 3

Goete · Answer

Daca unul ar fi mai mare decat altul, despre ce am vorbi, despre infinituri mai mari si mai mici? Pana la urma le dam o valoare, ceea ce inseamna ca nu e infinit.
1. Gandind logic esti tentat sa spui ca e logic sa fie mai mare numarul tuturor numerelor, atat pare cat impare, decat cel al numerelor pare. Dar sa nu uitam ca si numerele pare sunt infinite, deci neavand sfarsit nu pot fi mai putine.
2. Opino in acelasi fel. Daca  linia nu are limitare spatiala.

sabin89 · Answer

Dar dacă linia are limitare spațială... Să zicem o linie de un centimetru.

Goete · Answer

Din punt de vedere fizic nu mai incap o infinitate de puncte pe ovlinie de 1 cm, putem vorbi de puncte tot mai mici si deci valori vai mari, dar nu infinite.

Rd79 · Answer

Trebuie sa ti cont de faptul ca infinitul nu exista in natura. Nu exista nimic infinit, totul este compus din uniati discrete si finite (atat timpul cat si spatiul).

Exista infinituri mai mari dect altele. De exemplu, multimea numerelor reale intre 1 si 2 este mai mica decat cea intre 1 si 3.     la fel si cu numerele pare, sunt mai putine decat cele pare si cele impare.

2. Punctele de pe o linie (linie fizica) nu sunt infinite. Daca luam o linie matematica, ne fizica, atunci logic ca sunt mai multe numere decat puncte pe o linie.

Rd79 · Answer

Si inca ceva: Operatiile matematice cu infinitati nu au tot timpul sens. De exemplu, un infinit minus un infinit poate da orice numar, intre minus infinit si plus infinit.

sabin89 · Answer

Dar esti de acord cu metoda propusa de George Cantor?

sabin89 · Answer

Regula lui Cantor cred că e cea mai raţională şi de fapt singura pe care o putem folosi pentru a compara cantităţi infinite. Uite, de ex., cum comparăm mulţimea numerelor cu soţ cu aceea a nr. fără soţ. Deja intuitiv am spune că sunt egale. Dar folosind regula, avem că lui 1 îi corespunde 2,     lui 3 îi corespunde 4,     lui 5 -> 6,     lui 7 -> 8 ş.a.m.d. Faptul că se pot face aceste perechi arată că infinităţile sunt egale.
Acum să comparăm mulţimea tuturor numerelor atât cu soţ cât şi fără soţ cu cea a numerelor numai cu soţ. Surprinzător, şi astea sunt egale, dovada fiind şi aici tot perechile. Lui 1 îi corespunde 2,     lui 2 ->4, lui 3 -> 6,     lui 4 -> 8 etc. Deci, conform regulii, trebuie să spunem că infinitatea numerelor cu soţ este exact de mărimea infinităţii tuturor numerelor. Paradoxal, dar aşa e.

Rd79 · Answer

Infinitul nu este ceva real. Nu exista nimic infinit. De aceea operatiile cu infinituri nu sunt foarte bine definite. Vezi exemplul meu cu monezile.