Se poate forma o identitate folosindu-l pe 1, pe radical din (-1) şi două numere transcendente? Printr-o combinaţie cu aceste patru numere să obţinem 0. Se poate?
Nu stiu daca a ajuns in felul urmator la relatie, dar uite o explicatie destul de simpla:
e^x se scrie ca serie de puteri astfel: 1+x/1! + x^2/2! + x^3/3! +...
Inlocuind x cu ix ajungi la 1 + ix/1! + (ix)^2/2! + (ix)^3/3! +...
Si tinand cont ca i^0 = 1, i^1 = i, i^2 = -1, i^3 = -i si de aici incolo repetandu-se, ajungi la a avea : e^(ix) = 1 + ix - x^2/2! - ix^3/3! + x^4/4! +.
Grupand termenii cu i si fara i : (1 - x^2/2! + x^4/4! - x^6/6! +... ) + i (x-x^3/3! + x^5/5! - x^7/7! +...), prima fiind seria de puteri pentru cosx, iar a doua pentru sinx. Astfel ajungi la a avea e^(ix)=cos(x)+i*sin(x).
Răspunde
Ordonare:
După relevanţă
Iarăşi zic: mare om acest Euler. Un astfel de om îţi trezeşte sentimente de admiraţie.
Apropo, nu-mi amintesc cum a ajuns el la relaţia e^(ix) = cos(x) + i*sin(x)'
Dar probabil găsesc pe net explicaţia.
Răspunde
Răspunde
Şi cum s-o fi ajuns la relaţia: e^x = 1 + x/1! + x^2/2! +? 
Glumesc, evident. Nu ne apucăm acum să despicăm firul în paişpe.
Unul din familia Bernoulli, a calculat dobanda compusa la un an, sub forma (1+1/n)^n. Daca platesti de 30000 sau de 500000 de ori pe an dobanda, ea va tinde catre numarul e.
Iar daca desfaci cu binomul lui Newton (1+1/n) ajungi la e = 2 + 1/2! + 1/3! + 1/4! +...
Daca ridici la puterea x si aplici din nou binomul lui newton (mai greu de data asta, fiindca sunt n termeni) obtii egalitatea de mai sus.
Atât serile pentru cosx și sinx cât și cea pentru e^x sunt deduse din Teorema lui Taylor, pentru a și f:
f(x)= f(a)/0!+(f'(a)*(x-a))/1!+(f''(a)*(x-a)^2)/2!+(f'''(a)*(x-a)^3)/3!+...
Unde f'(x) e derivata lui f(x), f"(x) e derivata lui f'(x), f'''(x) e derivata lui f"(x) ș.a.m.d.
Pentru a=0: f(x)=f(0)/0!+(f'(0)*x)/1!+(f''(a)*x^2)/2!+(f'''(a)*x^3)/3!+...
Dacă f(x)=e^x atunci f'(x)=f"(x)=e^x și e^0=1 deci rămânem cu e^x = 1 + x/1! + x^2/2! + x^3/3!+...
Demonstrație pentru Taylor:
https://www.youtube.com/watch?v=jShliXdt9Ek&t=634s
E unu. Raționamentul merge așa: n!=(n-1)! *n pentru n=1: 1!=0!*1 deci 0!=1; sau n! înseamnă răspunsul la întrebarea "în câte feluri poți aranja n obiecte diferite?" pentru 0, adică nimic, îl poți aranja doar într-un fel.
Tu înţelegi demonstrarea Teoremei lui Taylor? De curiozitate întreb, că pare destul de sofisticată. M-am uitat puţin pe linkul pe care mi l-ai dat, dar m-am oprit la un moment dat. Asta şi că mă enerva engleza aia cam chinuită, cum o vorbea ăla. Oricum, seriile astea Taylor şi Mclaurin sunt un capitol care mi se pare foarte interesant, care merită studiat.
Da.
E argument puțin mai complex, dar ideea de bază e pe integrarea prin părți. Se tot adună termenii sumei iar valoare lanțului de integrale (ce numește în videoclip JUNK) devine tot mai mică astfel încât cum tinde la infinit devine 0.
Aș fi scis chiar aici dovada, dar nu știu cum să scriu integrale pe platforma TPU
Încercă și serile Fourie, sunt puțin mai complexe, dar interesante și au multe aplicații utile.
Deci ai înţeles demonstraţia. Înseamnă că eşti la un nivel avansat, bine introdus în tainele "Calculus"- ului. Nu mă las şi o să mă mai documentez şi eu. Poate nu neapărat de pe Youtube, ci de pe diferite artcole scrise. Mă bucur că întâlnesc aici pe site iubitori ai reginei ştiinţelor (se vede că şi Nietzsche e unul din ei; şi poate mai sunt),
Interesant mi se pare şi cazul funcţiei e^x. După cum s-a tot vorbit de curiozităţi ale naturii, cred că s-ar putea vorbi şi de curiozităţi în domeniul matematicii. Una ar fi chiar formula asta a lui Euler. Păi nu? Să ridici un număr iraţional la o putere care şi ea e iraţională şi să-l obţii pe (-1). Ştiu, e adevărat, e riguros demonstrat, dar este un rezultat incitant.
Iar în cazul lui e^x, pare curios faptul că poate exista o funcţie a cărei derivată este chiar funcţia dată. Cred că ăsta e un caz unic în domeniul funcţiilor. Nu ştiu să mai existe vreo altă funcţie f(x) a cărei derivată să fie tot f(x). Gândeşte-te acum la interpretarea acestui caz. Ce înseamnă, în ultimă instanţă, o derivată? Este tangenta trigonometrică a unghiului format de tangenta geometrică (în punctul dat) cu orizontala. Deci, reprezentăn grafic funcţia f(x) = e^x, considerăm un punct oarecare M de pe curbă şi ducem aici o tangentă (geometrică) la curbă. Din punctul M ducem şi o dreaptă orizontală. Se formează un unghi între cele două. Ce se întâmplă aici: tangenta trigonometrică a acestui unghi are aceeaşi valoare cu funcţia în punctul dat, respectiv cu mărimea ordonatei (lungimea distanţei de la M la orizontală). Nu e asta ceva fascinant?
Da, și eu mă bucur că sunt alți oameni pasionați de matematică pe TpU--să fiu sincer întrebarea ta legată de un ceas cu două limbi, pusă prin aprilie, cred, a fost motivul pentru care am început să mă implic în comunitatea TpU 
e^x este unica soluție a ecuației diferențiale f'(x)-f(x)=0. Din păcate, realizez chiar acum, că nu știu motivul dar dacă ești interesat, caut și mai vorbim.
O problemă care mie mi-a plăcut mult:
https://www.tpu.ro/......ncrete-ci/
Am văzut problema, și am încercat ceva, dar nu-i dau de capăt am reușit să aflu multe unghiuri cu instrumente simple (Toreme legate de triunghi sau unghiul opus) dar nu complet pe cele opuse.
Am să mai lucrez la ea dacă o rezolv îți las comentariu la ea, că poate ai observat sunt perioade când pot să răspund la toate întrebările și altele când nu prea acum sunt puțin ocupat săptămâna asta și următoarea, dar nu înseamnă că nu mă întorc
.
Dar e probabil o teoremă mai puțin cunoscută care e cheia sau o perspectivă mai puțin evidentă, așaceva. Ca instrumente poate că iese folosind cele 8 teoreme cunoscute în lumea anglofonă ca The Circle Theorems.
Nu stiu daca a ajuns in felul urmator la relatie, dar uite o explicatie destul de simpla:
e^x se scrie ca serie de puteri astfel: 1+x/1! + x^2/2! + x^3/3! +...
Inlocuind x cu ix ajungi la 1 + ix/1! + (ix)^2/2! + (ix)^3/3! +...
Si tinand cont ca i^0 = 1, i^1 = i, i^2 = -1, i^3 = -i si de aici incolo repetandu-se, ajungi la a avea : e^(ix) = 1 + ix - x^2/2! - ix^3/3! + x^4/4! +.
Grupand termenii cu i si fara i : (1 - x^2/2! + x^4/4! - x^6/6! +... ) + i (x-x^3/3! + x^5/5! - x^7/7! +...), prima fiind seria de puteri pentru cosx, iar a doua pentru sinx. Astfel ajungi la a avea e^(ix)=cos(x)+i*sin(x).
Se poate forma o identitate
Nu înțeleg ce este o identitate în concepția dtale.
două numere transcendente?
Care numere transcendente?
Printr-o combinaţie? Ce înțelegi pe combinație?
Ce înţeleg prin identitate? Înţeleg ce înţelege toată lumea. Sunt convins că şi tu ai auzit de identitatea lui Euler, adică aceea scrisă de TristanTzara mai sus; sau de Nietzsche. Iar cele două numere transendente sunt cele care apar acolo, respectiv e şi pi. Iar combinaţia este o combinaţie de operaţii cu aceste numere: înmulţire, ridicare la putere etc.
Bineinteles.
De asemenea, putem sa mai formam si alte identitati:
• e^(i*pi/2) - i = 0
• e^(i*pi/4) - 1/radical(2)(1+i) = 0
Toate astea pentru ca e^(ix) = cosx + isin(x)
Nu mă refer la nimic, doar am întrebat.
Mare a fost Euler ăsta!
E o realizare și mai mare decât o curiozitate matematică. Forma generală e pentru un z (aș folosi tetha dar nu mă lasă cu litere grecești) oarecare relația următoare e adevărată: e^(iz)= cos(z)+i sin(z)--formula e dedusă din serile Taylor ale celor două părți, care sunt egale; Euler a mairezolvat și problema Basel folosind serii de tipul ăsta.
Iar pentru z=pi avem e^(i pi) =cos(pi)+ i sin(pi)=-1+i*0=-1 de unde reiese că e^(i pi)+1=0, foarte frumos. Dar descoperirea e importantă pentru că putem avea numere la puteri imaginare ca urmare a ei.
Foarte interesant! La prima vedere nu pare credibil ca făcând o combinaţie de operaţii (înmulţire, ridicare la putere) cu nişte numere iraţionale să obţii un număr raţional, întreg. Şi totuşi este, e demonstrat riguros. Amazing! cum ar spune americanul.
Răspunsul este publicat...
Te rugăm să aştepţi ca răspunsul tău să fie trimis spre publicare.
