Probabil multi stiu cum se calculeaza dobanzile la banca. Banii proveniti din dobanda se adauga anual la capitalul de baza. Daca dobanda se adauga la capital mai des, acesta creste mai repede, pentru ca dobanda se calculeaza la o suma mai mare. Sa luam un exemplu simplu, pur teoretic. Sa presupunem ca au fost depusi 100 de lei cu 100% anual. Daca dobanda se va adauga dupa un an, atunci cei 100 de lei vor deveni 200 de lei. Dar daca s-ar adauga la fiecare sase luni? Atunci vom avea mai intai 100 * 1, 5 = 150 lei; si dupa inca sase luni 100 * (1, 5)^2 = 225 lei. Adaugand dobanda la fiecare 1/3 de an cei 100 de lei vor deveni 100 * (4/3)^3 = aprox. 237, 03 lei. Micsorand termenul la 0, 1 ani, vom avea 100 * 1, 1^10 = 259, 37 lei. La 0, 01 ani vor fi 100 * 1, 01^100 = 270, 48 lei.
Care credeti ca este limita pana la care poate creste (teoretic) acest capital?
Ordonare:
După relevanţă
In primul rand exemplul tau pacatuieste printr-un entuziasm fara limite, dobanda la depozite in lei este cu mult mai mica, in prezent este in jur de 1%, in functie de banca, suma si perioada depozitului. Si apoi dobanda este impozitata cu 16%, astfel ca dobanda neta este cu mult mai mica. De asemenea depozitul este afectat si de deprecierea leului (inflatie), astfel ca, la final, s-ar putea sa ai o suma reala mai mica decat ai depus.
In orice caz valoarea nominala va creste destul de lent. Sigur ca, dupa multi ani, valoarea nominala poate sa fie destul de mare si nu exista o anumita limita, presupunand ca banca nu da faliment.
RăspundeProblema nu este una reala, bineinteles. Am vrut sa fac o problema matematica, dar am evitat termenul, sa nu trezeasca suspiciuni ca ar fi tema. Deci rog pe oricine mai citeste sa se refere doar la limita acelui sir, strict matematic.
Răspunde Stii foarte bine ca temele sunt interzise pe TPU si totusi incalci regula.
Pentru asta se poate deduce simplu o formulă generală (1+1/n)^n, unde n este numărul în care împarți un întreg(1) care poate fi 1 an sau 1 secol, nu contează(exemplul cu dobânzile e cel mai potrivit însă nu e unicat iar tu ai dat exemplul cu 100 dar pentru a obține numărul important voi vorbi de 1-la înmulțirea din exemplul tău). Dacă acel n tinde la infinit chestia asta este 2, 7182... cu un număr infinit de zecimale(cu cât crești mai mult numărul cu atât numărul de zecimale se va mări deci având infinit vei avea o infinitate de zecimale). Și așa apare în discuție numărul lui Euler sau constanta lui Euler care se notează cu e. Deci acel e, pe care toți îl știm de la matematică, ar fi limita.
Ca să fiu mai clar căci nu am fost, chestia aia e înmulțită cu 1 cum ar veni însă în cazul tău trebuie formula înmulțită cu 100. Am vrut să evidențiez obținerea numărului lui Euler. În cazul tău ar tinde undeva la 271, 82 lei(fiind de 100 de ori mai mare) sau mai exact spus limita este 100e.
"Dacă acel n tinde la infinit chestia asta este 2, 7182... " - Poti sa demonstrezi asta? 
Nu, nu, lasati. Sunt satisfacut cu raspunsul.
Prin calcule succesive reiese evident că așa e, așa ar fi cel mai ușor. Însă dacă vei vrea să demonstrezi pur matematic va trebui să prelucrezi limita și proprietățile funcției exponențiale și logaritmice. Voi nota limita cu n->inf simplu cu lim.
L=lim(1+1/n)^n = lim e^(ln(1+1/n)^n) (pentru că știm proprietatea logaritmului că a=b la puterea logaritm de ordinul b din a)
L= e^ (lim (n*ln(1+1/n)).
Vom avea e^y deci vom nota limita cu y. Trebuie să calculăm y.
y=lim (n*ln(1+1/n)=lim((ln(1+1/n))/1/n) (am dus n la numitor)
y=lim( (ln( (n+1)/n ) ) / 1/n )
Deci am obținut un raport. Aplic regula lui l'Hospital (sper că e corect în cazul de față) prin care putem obține limita înlocuind numitorul și numărătorul cu derivatele acestora.
Derivând ln( (n+1)/n ) obținem (1/(n+1)/n) * (n-n-1)/n^2 = -1/((n+1)*n)
Derivând 1/n obținem -1/n^2
Înlocuim deci derivatele și
y=lim( (-1/((n+1)*n) ) / (-1/n^2) ) (simplificăm (-) și inversăm raportul căci avem raport pe raport)
y= lim (n+1)*n/n^2 = lim (n+1)/n
Împărțim atât numitorul cât și numărătorul la n deci:
y= lim (1+1/n)/1
Știm că lim 1/n =0 deci y=1.
Acum înlocuim în L pe y cu 1 deci L=e^1 deci L=e deci
lim(1+1/n)^n=e
Sper să apreciezi. Am stat o oră la tâmpenia asta mai ales pentru că am mai încercat un mod care era de fapt un punct mort.
Apreciez, dar... spune si tu, intrebarea mea poate fi confundata cu tema? Eu zic ca nici privita din avion. Eu am vrut sa scot in evidenta ca, oricat de mult s-ar micsora intervalul de adaugare a dobanzii, capitalul nu poate creste peste o anumita limita. Si in acelasi timp, sigur, si utilitatea numarului lui Euler poate fi remarcata.
O temă normală de școală nu ar putea arăta așa, mai degrabă dacă e ceva de lucru pentru pregătiri de olimpiadă ar merge. Dacă e așa să nu mai posteze nimeni nimic legat de matematică sau fizică, nu? Mi se pare aiurea. Se și vede ce e temă și ce nu. Temele au un enunț simplu și la obiect, nu sunt însoțite de prea multe exemple sau detalii, de obicei. Eu zic că nu se poate confunda așa ușor cu o temă.
Am înțeles unde bați, așa poți găsi multe limite care converg la ceva teoretic și ăsta ar fi unul dintre cele mai bune exemple.
Numerele Euler și Pi sunt cele mai remarcabile din matematică.
Răspunsul este publicat...
Te rugăm să aştepţi ca răspunsul tău să fie trimis spre publicare.
