Seria 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + 1/5 - 1/6..., cu un număr infinit de termeni, pare a fi convergentă. Credeţi că există vreo posibilitate de a afla suma termenilor?
Ordonare:
După relevanţă
Nu stiu ce sa spun, dar daca notezi intreaga suma cu "S" atunci toata relatia poate fi scrisa ca:
S=S1-S2, unde:
S1= 1+1/3+1/5+1/7+...
S2=1/2+1/4+1/6+1/8+...
Practic am separat termenii negativi de cei pozitivi.
Inmultind pe S2 cu 2 obtinem:
2*S2=1+1/2+1/3+1/4+1/5+...
Rearanjand termenii:
2*S2=(1+1/3+1/5+1/7+...)+ (1/2+1/4+1/6+1/8+... )
2*S2=S1+S2
S2=S1
Deci S=0
Dar undeva este o eroare, caci relatia de mai sus clar nu tinde la zero.
Probabil ca eroarea este data de faptul ca, desi "S" este o serie convergenta, "S1" si "S2" nu sunt. Asa ca nu pot fi manipulata ca mai sus.
Ma mai gandesc la un raspuns.
Răspunde
Răspunde
Daca exista o ratie constanta intre termeni (asa cum este cazul seriilor geoemtrice) problema ar fi fost simpla.
Spre exemplu:
S=a - a*q + a*q^2 - a*q^3 + a*q^4 - a*q^5+...
Unde "a" este primul termen, iar "q" este ratia.
Inmultim cu ratia "q".
q*S= a*q - a*q^2 + a*q^3 -a*q^4 +a*q^5 -...
Daca adunam"q*S" la "S" obtinem:
q*S+S=a
S(1+q)=a
S=a/(1+q)
Deci: a/(1+q) = a - a*q + a*q^2 - a*q^3 + a*q^4 - a*q^5+... (Relatia 1)
Este interesant cum integrand relatia 1 obtinem formule pentru alte tipuri de sume infinite.
Integrala din "a/(1+q)" este "a*ln(1+q)".
Se obtine:
"a*ln(1+q) = a*q - (a*q^2)/2 + (a*q^3)/3 - (a*q^4)/4 +...
In cazul nostru a=1 si q=1
ln(2) = 1-1/2+1/3-1/4+1/5-...
"Este interesant cum integrand aceasta ultima relatie obtinem" - Păi stai, cum te-ai dus la integrare? Integrala se aplică la funcţii; iar noi aici avem o sumă de nişte numere, nu o funcţie.
Am integrat:
a/(1+q) = a - a*q + a*q^2 - a*q^3 + a*q^4 - a*q^5+...
functia este:
f(q) = a/(1+q) = a - a*q + a*q^2 - a*q^3 + a*q^4 - a*q^5+...
Https://pasteboard.co/KdK8Es5.png
Daca inlocuiesti in relatia 4, q=1 se obtine fix seria alternanta din intrebarea ta.
Poate am gresit undeva.
Se pare că ăsta ar fi rezultatul. Interesant! Deci, dacă tot adăugăm termeni, spre infinit - nu chiar până la infinit 
- şi tot adunăm şi tot scădem, obţinem aprox. 0, 7 (parcă atât este ln2).
Matematica asta! Cine o mai fi inventat-o?
Nu este o surpriza atat de mare daca te gandesti ca valoarile adaugate (sau scazute) tind spre zero. Deci intr-un final ne-am astepta ca intreaga suma sa se stabilizeze in jurul unei valori finite.
Mai neasteptate sunt sumele de forma: 1+1/2+1/3+1/4+1/5+...
Unde, in ciuda faptului ca incrementul tinde spre zero, valoarea sumei tinde catre infinit.
Care sumă e log2 şi care e ln2?
Log2 e un fel de a scrie ln2. Suma seriei din intrebare este ln2.
Răspunsul este publicat...
Te rugăm să aştepţi ca răspunsul tău să fie trimis spre publicare.
