Haideti sa ne mai si jucam! :)
Dupa o noapte de nesomn, uitati la ce problema frumoasa m-am gandit, doar pentru voi:
:)
Avem un butoi deschis in care se afla un litru de apa.
Deasupra butoiului se afla doi robineti. Printr-un robinet, Robinetul A, curge o solutie alcoolica (apa + alcool), iar prin celalalt robinet, Robinetul B, curge apa.
Debitul de lichid care curge prin ambii robineti este identic.
Concentratia de alcool initiala din butoi este zero. Avem doar un litru de apa.
Operatiunea 1: Deschidem robinetul A, cel prin care curge solutia alcoolica si asteptam pana cand concentratia de alcool a solutiei din butoi va ajunge la 50%
Operatiunea 2: Cand concentratia solutiei din butoi a ajuns la 50%, deschidem Robinetul B, cel prin care curge apa. Lasam insa deschis robinetul A.
Cu ambii robineti deschisi asteptam pana cand concentratia de alcool din butoi scade la 45%.
Intrebare:
Care este concentratia de alcool a solutiei care curge prin robinetul A, pe care trebuie sa o alegem, in asa fel incat volumul final de lichid din butoi, la finalul operatiunilor 1 si 2, sa fie minim.
Practic putem alege orice solutie vrem noi sa curga din Robinetul A. Poate sa fie apa (0% alcool) sau 100% alcool, sau orice combinatie intre cele doua.
Indicii:
- Din start ne putem da seama ca solutia pe care o dorim trebuie sa aiba o concentratie de alcool mai mare de 50%. Doar asa am putea duce la bun sfarsit operatiunea 1: sa ridicam concentratia apei din butoi la 50%.
- Tot din start ne putem da seama ca solutia noastra trebuie sa aiba o concentratie mai mica de de 90%. Doar in acest fel, combinand solutia cu apa care curge din robinetul B am putea reduce concentratia finala din butoi la 45%, finalizand operatiunea 2.
Distractie placuta!
Sursa de inspiratie:
https://www.tpu.ro/......i-si-cata/
Prima oară cantitatea de alcool trebuie să fie jumătate din volumul inițial din butoi Vf. Deci c*V1=0,5Vf. Vf=1+V1 (volumul adăugat din primul robinet + 1 litru).
Alcool va fi 0, 5(1+V1) = c*V1
0, 5+0, 5V1=cV1
0,5=V1(c-0,5)
V1=1/(2c-1)
Acum adaug V2 (volumul adăugat din robinetul 2) și V3 volumul continuat din robinetul 1.
1+V1+V2+V3
Alcoolul va fi 0, 45(1+V1+V2+V3) = c*(V1+V3) = cV1+cV3
Deci 0,45+0,45V1+0,45V2+(0,45-c)V3=cV1
Înlocuiesc V1
0,45+0,45/(2c-1) +0, 45V2+(0,45-c)V3=c/(2c-1)
Dar știm că volumele V2=V3 pentru că apa curge cu același debit.
0, 45+0, 45/(2c-1) +0, 45V3+(0,45-c)V3=c/(2c-1)
0,45+0,45/(2c-1)+v3(0,9-c)=c/(2c-1)
V3=(c/(2c-1)-0,45-0,45/(2c-1))/(0,9-c)
Volumul final = 1+V1+V2+V3 = 1+V1+2*V3
V f = 1+ 1/(2c-1)+(2c/(2c-1)-0,9-0,9/(2c-1))/(0,9-c)
Același numitor
Nu știu dacă ajungi la acea ecuație, poate am greșit pe undeva.
Răspunde
Răspunde 
Ordonare:
După relevanţă
Răspunde
De data asta nu iti mai spun. Plus ca inca nu am incercat sa o rezolv.
Am vrut sa formulez o problema cu concentratii care implica necesitatea calculului diferential. Mi-a luat ceva pana am gasit una.
As fi tare dezamagit daca nu ai avea nevoie de vreo derivata pentru a rezolva, cum s-a intamplat cu problema anterioara.
Uite ecuatia:
Vf=(0, 5C-0, 5C^2)/(-0,5C^2+0,7C-0,225)
Vf = volumul final, C = concentratia
Care e concentratia?
Stai să închid link-urile astea de arheologie.
Ai idee cum s-a ajuns la ecuația aia? De curiozitate întreb.
Oricum, îți dai seama ce înseamnă să derivezi fracția aia și să o egalezi cu zero? Ajungi la niște expresii algebrice enorme, cu puteri de gradul 4 și 5. Îți ia o săptămână să-l afli pe C.
Parerea mea este ca nu are sens sa derivezi asa ceva. Operatia aritmetica ar fi o provocare in sine, dar nu una care ma intereseaza. Exista destule calculatoare care pot face asta.
Nici ecuatia care rezulta dupa derivare nu merita sa fie rezolvata, exista alte calculatoare care pot face si asta.
Ca sa nu te tin in suspans, C minim este 3/4, conform wolfram calculator.
Adevarata provocare este sa ajungi la ecuatia pe care am scris-o. Si aici nu iti trebuie un calculator, ci doar propria-ti minte.
Cine stie, poate am si gresit pe undeva.
Răspunsul este publicat...
Te rugăm să aştepţi ca răspunsul tău să fie trimis spre publicare.
