Să presupunem că într-un grup de treizeci de persoane se face o cercetare a datei de naştere a fiecărui membru al grupului. Ce şanse credeţi că sunt să se găsească doi indivizi cu aceeaşi dată a naşterii? – prin data naşterii înţeleg aici doar luna şi ziua, nu şi anul.

Cazurile totale sunt numarul de legaturi care se pot realiza intre 30 de persoane, luate 2 cate 2 ( 30*29/2 = 435 ) sau combinari de 30 luate cate 2 ( ordinea nu conteaza ) ( 30! / (28! * 2) = 29*30/2 = 435 )

Acum urmeaza partea contraintuitiva. Presupunem ca anul are 265 de zile. Probabilitatea ca doua persoane sa aiba zile diferite de nastere = 364/365 = 99.72.

Sansa de 365 perechi unice = 99.72 la puterea 435 = 30.32

Deci probabilitatea ca doi indivizi sa aiba aceeasi data de nastere = 1 - 30.32 = 69.68%

99,72 la puterea 435 fac 30, 32?

99.72% = 0. 9972 care de fapt e de fapt 0. 99726 rotunjit.

Așa se întâmplă când nu citești toată întrebarea.

"răspuns șters"

~70%

Nu vreau sa dau spoiler, dar presupun ca undeva la 73%.

"Așa se întâmplă când nu citești toată întrebarea"
Ce vrei să zici?

Păi, aşa, fără nicio explicaţie?

Cred ca numeri de mai multe ori cazuri favorabile identice.

Am recalculat si acum am rezolvat altfel. Procentajul este de 24, 3%

365:30 =12, 16666666666667
12. 16666666666667x2 =24, 3

Nu prea îmi plac problemele de probabilitate, dar acum, că singur m-am băgat...
Atât timp cât nu dau de o coincidenţă, continui să întreb ziua de naştere a oamenilor, până când i-am cercetat pe toţi cei treizeci, adică până la limită. Procesul acesta continuă numai dacă n-am găsit o coincidenţă. (caz tipic de ceea ce numim natura muliplicativă a probabilităţilor independente). Probabilităţile de neruşită la fiecare interogare a unui alt om se tot înmulţesc. Iar probabilitatea de reuşită va fi, evident, 1 minus probabilitatea de neruşită.
Concret, al doilea om a cărui zi de naştere o cercetez are 364/365 şanse de a nu avea aceeaşi zi de naştere cu primul om. Când ajung la al treilea om, el poate avea aceeaşi zi de naştere cu oricare din primii doi şi deci şansa lui de a nu avea aceeaşi zi de naştere cu niciunul din ei este 363/365. Asta înseamnă că după ce am întrebat trei oameni care este ziua lor de naştere, probabilitatea de a nu găsi o coincidenţă în cadrul acestui grup de trei este 364/365*363/365 şi, bineînţeles, probabilitatea de a găsi o coincidenţă este de 1 – 364/365*363/365.
Cercetând întregul grup de treizeci de oameni, probabilitatea de a găsi o coincidenţă este:
1 – 364/365*363/365*362/365... 336/365
Sunt mai multe posibilităţi de a evalua acest număr. Valoarea lui este de aproximativ 0, 7. Adică valoarea pe care a găsit-o TechPain şi pe care o nimerise  şi Celceştietot în primul răspuns.

"Sunt mai multe posibilităţi de a evalua acest număr."

Consideri că modul în care TechPain a ajuns la rezultat este corect?

Cred că e o coincidenţă. Nu mi se pare corect, din motivele pe care le-ai arătat ţi tu.

Eroarea este foarte subtilă. Mi-am dat seama că este greșit deoarece cunosc modul corect de calcul și rezultatul nu coincide ce ce a prezentat techpain

Probabilitatea ca două evenimente sa se întâmple simultan este produsul fiecărei probabilități in parte, dar asta numai când evenimentele nu se influențează între ele. In cazul de față evenimentele nu sunt independente.
Daca ai 3 oameni: A, B și C.
Și știi că ziua de naștere a lui A coincide cu ziua lui B, și că ziua de naștere a lui B coincide cu ziua de naștere a lui C, asta modifică probabilitatea că ziua de naștere a lui A să coincidă cu ziua de naștere a lui C. Probabilitatea devine 100%
Deci nu merge sa calculezi probabilitatea pe perechi: AB, BC și AC.

Este mai dificil de sesizat când consideri negația: ziua de naștere sa nu coincidă.

Daca A=/=B și B=/=C, atunci A poate sa fie în adevăr diferit de C, dar probabilitatea este afectată de faptul că A=/=B și B=/=C.

Crezi că şi raţionamentul meu e greşit?

Nu vezi că modul în care am calculat eu este identic cu al tau? Și gura diferența este că eu am calculat întâi cazurile posibile și favorabile, in țule ai calculat în termeni de probabilități.

După cum am scris mai sus:
Cazurile posibile sunt 365^30, iar cele favorabile sunt aranjamente de 365 luate câte 30.

Sm greșit când am făcut calculul, nu la algoritm, dar verificând rezultatul este într-adevăr 70%

Câte persoane crezi că ar trebui să întreb ca să pot paria la egalitate că există oameni cu aceeaşi dată de naştere?

O mică explicaţie. Să presupunem două evenimente A şi B independente, adică având proprietatea că probabilitatea de producere a fiecăruia dintre ele la o încercare nu depinde de producerea sau neproducerea celuilalt la o încercare anterioară. Notăm cu p probabilitatea lui A, cu q probabilitatea lui B şi fie n numărul cazurilor posibile la fiecare încercare. Atunci la două încercări succesive numărul total al cazurilor posibile este n^2 (la fiecare caz posibil din prima încercare corespund n cazuri posibile din a doua încercare). Pentru a calcula probabilitatea producerii evenimentului A la prima încercare şi a evenimentului B la a doua încercare, observăm că numărul cazurilor favorabile la prima încercare este p*n şi fiecăruia dintre ele îi corespund q*n cazuri favorabile la adoua încercare. Deci, numărul total al cazurilor favorabile la ambele încercări este pn*qn şi probabilitatea căutată va fi (pn*qn)/n^2 = pq.

Din cate am inteles intrebi pentru ce numar de oameni probabilitatea ca minim doua persoane sa aiba aceeasi data de nastere este de aproximativ 50%.

Pentru 23 de persoane probabilitatea ca nici macar doua persoane sa nu aiba aceeasi data de nastere se calculeaza ca fiind numarul de cazuri favorabile/numarul de cazuri posibile.

Numarul de cauzuri favorabile este aranjamente de 365 luate cate 23, iar numarul total de psoibilitati este 365^23.

Facand raportul, si daca nu ma pacaleste calculatorul, probabilitatea "p" este de 49, 27%.
Iar probabilitatea ca cel putin doua persoane sa aiba aceeasi data de nastere va fi 1-p, sau 50, 73%

In medie, de la a cata persoana ce intra in camera de studiu crezi ca se va intampla ca aceasta sa aiba data de nastere comuna cu una din persoanele deja existente in incapere?

Daca ai noroc este posibil ca fix a doua persoana care intra sa aiba data de nastere a primeia, pe cand in unele cazuri se poate intampla sa intre 300 de indivizi si toti sa aiba data de nastere diferita.

Daca ne-am imagina ca rulam acest experiment ad infinitum, iar in final mediem rezultatele obtinute, cam care crezi ca ar fi numarul mediu de persoane de la care data de nastere devine comuna pentru cel putin doua persoane?

In caz ca nu ai citit pana la capat:
"In medie, de la a cata persoana ce intra in camera de studiu crezi ca se va intampla ca aceasta sa aiba data de nastere comuna cu una din persoanele deja existente in incapere?"

Sunt curios care consideri ca este algoritmul de calcul corect.

Asa cum iti spuneam, este posibil ca dupa primele 2 persoane interogate deja sa gasesti o data de nastere comuna, tot asa cum este posibil sa interoghezi 365 de persoane si sa nu gasesti o zi de nastere comuna.
Dar daca rulezi experimentul de nenumarate ori, si faci o medie a numarului de oameni necesar a fi interogati pentru a gasi o data de nastere comuna, numar ce variaza de la un experiment la altul, atunci va trebui sa gasesti un numar mediu de persoane.

Gasesc acest concept de "numar mediu" absolut remarcabil, deoarece presupune ca, oricat de haotic si imprevizibil ar fi un fenomen, daca este repetat de mai multe ori, media rezultatelor va tinde mereu spre o valoare ce poate fi determinata.
Daca un magician ti-ar ghici de cate ori ai extras asul de pica dintr-un pachet de carti de joc sunt convisn ca ai fi impresionat.
Fascinant este ca putem folosi un calcul matematic ce aproximeaza acest lucru, eroarea tinzand catre zero cand numarul de extrageri tinde la infinit.

"Pentru 23 de persoane probabilitatea..."
Cum de te-ai oprit asupra acestui număr 23?

"Sunt curios care consideri ca este algoritmul de calcul corect."
Chiar nu ştiu. Presupun că trebuie să fie interesant; şi totodată complicat.

"Cum de te-ai oprit asupra acestui număr 23?"
Nu vad cum ai putea afla raspunsul fara a folosi calculatorul.
Din cate stiu nu exista o formula pentru "n" factorial, asa ca daca te intreb care este primul numar "n" pentru care n! este mai mare de 600, tot ce poti face este sa pui mana pe calculator si sa constati ca 6!=720, in timp ce 5!=120.

In fond, ceea ce ma intrebi este: Pentru ce valoare a lui "n", A-B are o valoare cat mai apropiata de 0.
Unde A=a^n, iar B=2 [a * (a-1) * (a-2) *... * (a-n+1)].

In cazul nostru a=365

Numarul mediu de reusite se calculeaza inmultind numarul total de incercari cu probabilitatea ca acel eveniment sa aiba loc.

De exemplu, daca arunc cu banul de 56 de ori in medie doar 28 din aruncari vor pica pe aceeasi fata. Pot calcula asta inmultind numarul total de aruncari (56) cu probabilitatea ca banul sa pice pe o anumita fata (1/2).
56*1/2=28

In cazul nostru exista mai multe variante posibile. Dupa cum spuneam, este posibil ca de la a doua persoana interogata aceasta sa aiba data de nastere comuna cu prima, caz in care va trebui sa interogam doar doua persoane. Pe de alta parte este posibil sa interogam 364 de persoane si toate sa aiba data de nastere diferita.

Exista deci 364 de cazuri posibile si pentru fiecare trebuie calculat numarul mediu de oameni.

Primul caz este cand a doua persoana interogata are deja data de nastere comuna cu prima. Probabilitatea sa se intample asta este 1/365, si va trebui sa interogam 2 oameni.
Asta inseamna ca, in medie, acest lucru se va intampla la 2 * 1/365=0.0054 oameni. Deci extrem de putini, daca realizam 1000 de interogari de acest gen in mdie doar 5, 4 oameni vor avea data de nastere comuna fiind si printre primii doi interogati.

Al doilea caz posibil este ca primele doua persoane sa aiba data de nastere diferita, iar cea de a 3-a sa aiba data de nastere comuna cu una din cele doua persoane inteorgate.

Probabilitatea ca acest lucru sa se intample este (364/365)*(2/365),
Numarul total de oameni interogati va fi 3, ceea ce inseamna ca in medie se va intampla la 3 * (364/365)*(2/365) = 0, 016 oameni interogati.

In cazul 3, cand primii 3 oameni au data de nastere diferita, iar cel de al 4-lea data comuna cu unul din primii 3, numarul mediu de persoane se va calcula: (364/365)*(363/365)*(3/365)*4

Exista insa 364 de cazuri, calculand si insumand valorile (cu ajutorul unui program de calcul) obtinem numarul mediu de oameni, care este 24, 61.
Presupun ca nu am gresit pe undeva, intrucat rezultatele experimentale par a converge catre cele teoretice. Intr-o simulare cu 111 experimente (2711 "oameni" interogati), rezultatul a fost ca, in medie se intampla ca al 24, 42-lea om sa aiba data de nastere comuna cu unul din cei interogati anterior.

Eşti bine documentat. Nu mă pot măsura cu tine în materie de probabilităţi; şi cred că nici alţii de pe TPU. Admit că este un capitol fascinant al matematicii şi ar trebui să încerc să-l aprofundez şi eu. Mulţumesc de explicaţii.