Este intr-adevar fascinant faptul ca matematica descrie atat de bine realitatea. Unele dintre cele mai bizare idei matematice si-au gasit exponent in lumea fizica, ceea ce e cel putin bizar.


Am gasit zilele trecute intr-o revisa motivul pentru care 0!=1. Recunosc ca nu mi-am pus intrebarea in mod special pana atunci.
Permutari,aranjamente si combinari, toate exprima lucruri concrete din viata de zi cu zi.
Spre exemplu exista o formula care iti spune in cate moduri iti poti aranja cravatele.
Dar pentru ca aceste formule sa poata functiona corect este necesar ca 0!=1. Unde "!" se citeste factorial.
Sigur, am putea foarte simplu sa remarcam ca pentru 0!=1 formulele matematice au aplicabilitate in lumea fizica si drept urmare sa postulam ca da, 0 factorial este intr-adevar egal cu 1. Si sincer am crezut pentru mult timp ca asta e motivul dins patele aceastei egalitati.

Dar ceea ce este foarte interesant pentru mine este ca se poate ajunge la concluzia asta pur matematic, urmarind o relatie de recurenta intre termeni.

Cam asta era demonstratia din revista expusa intr-un mod cat mai putin riguros:
4!=24
3!=6=24/4
2!=2=6/3
1!=1=2/2
0!=1=1/1

Doar urmarind un set de reguli abstracte dar consistente obtin concluzii ce extrapolate au valabilitate in lumea exterioara. Poate pare doar o banala coincidenta, dar sunt genul acesta de "coincidente" minore care privite in ansamblu contureaza profilul unei realitati guverenate de legi matematice.
In ce masura inventam si in ce masura descoperim toate astea?

Si eu am vazut un doc interesant despre matematica https://www.youtube.com/watch?v=2IERVHIl0Zs

In masura in care ne punem pe calcule.

Factorial este un termen prin care exprimăm produsul tuturor numerelor naturale de la 1 până la numărul dat. De exemplu 25! = 1 x 2 x 3 x 4 x... 25. Putem discuta de zero factorial? Păi zero e înaintea lui 1. Ce facem, de la 1 o luăm înapoi?

Pai doua obiecte pot fi permutate in doua moduri.
Daca mai adaugi un obiect este limpede ca poti forme 3 grupe distincte de cate doua,, adica: 3*2=3!
Daca mai adaugi un al 4 lea obiect poti forma 4 grupe distincte de cate 3, fiecare grupa de 3 putand fi permutate in 3! moduri, adica 4*3!=4!
Si tot asa pana la n! De asta factorialul are definitia pe care o are, in realitate reprezinta numarul de moduri in care n obiecte pot fi permutate intre ele.
Sunt chestii concrete din viata de zi cu zi.

0! pe de alta parte, pe langa faptul ca sfideaza definitia factorialului nu are nici macar sens fizic. Arata in cate moduri poti permuta zero elemente. Ceea ce este absurd.

Desi nu are sens fizic poti sa ajungi la concluzia ca 0!=1 daca pastrezi relatia de recurenta dintre termeni.
Daca faptul ca 3!=6 e un adevar matematic concret din lumea fizica, 0!=1 pare a fi doar o notiune matematica abstracta, corect?
Sa il numim "adevar matematic abstract".


Partea fascinanta si bizara e urmatoarea:

Mai exista si ideea de aranjamente. In cate moduri poti permuta 5 elemente in grupe de 3 spre exemplu? Se poate deduce formula n!/(n-k)!, unde n e numarul de elemente, iar k e numar de elemente din subgrupa. Pentru exemplul nostru ar veni 5!/(5-3)!

In cate moduri poti aranja 5 elemente in grupe de 5? Stim asta deja, e 5! moduri.
Dar hai sa aplicam formula de mai sus, ar veni 5!/(5-5)!=5!/0!
Hopa, am dat de 0!

Bizareria este ca daca aplicam adevarul ala matematic abstract de mai sus cum ca 0!=1 obtin pentru formula asta un raspuna corect. 5!/0!=5!/1=5! Corect.
De ce se intampla asta? E doar o coincidenta? Se putea foarte simplu ca in urma relatiei de recurenta dintre termeni sa obtin ca 0!=2 sau cu 3 si atunci daca ma bazam pe ideea asta as fi obtinut un raspuns gresit, in contradictie cu realitatea.
Dar nu, relatia de recurenta a condus fix la 0!=1, care e fix egalitatea corecta pentru ca formula aranjamentelor sa aiba sens. De ce?

Asta face matematica mai tot timpul. Preia relatii matematice din lumea reala, pastreaza rationamentul dar abstractizeaza dincolo de realitatea fizica si dupa, prin "magie", gaseste idei pe taramul abstractului care par sa descrie foarte bine lumea i care traim.

Da, frumoasă descriere ai făcut la toată povestea. În timp ce citeam mă gândeam si la alte bizarerii, precum că orice număr la puterea zero e unu. Ce e aia putere zero? Desi e clar că e asa (a^m/a^m=a^(m-m)=0), e totusi bizar. Sau unele limite. Cum vine asta: sinx/x e 1 când x tinde spre zero? Bine, s-ar putea spune multe la capitolul bizarerii matematice, relaţia aia a lui Euler s-a.

Pai cand x tinde la 0 atat valoarea sinusului (cateta triunghiului) cat si lungimea arcului de cerc tind sa aiba valori egale. O valoare a sinusului extrem de mica va avea asociata un arc de cerc atat de mic incat va fi aproximativ o linie dreapta egala ca lungime cu cea a sinusului.
Pe masura ce x scade tot mai mult, aceasta egalitate dintre x si sinx devine tot mai clara. Deci este oarecum limpede de ce sinx/x va tinde catre 1 atunci cand valoarea lui x tinde catre 0.