Să vă zic o problemă distractivă, care să vă mai ocupe din timpul liber - că vad că aveți destul 
. Sper ca TPU să o accepte, pentru că, evident, nu face parte din categoria temelor școlare. O postez aici deoarece se cere și ceva știință pentru a o rezolva - nu și filosofie . Deci...
Gelu, Relu și cu Nelu călătoresc împreună. Relu și Nelu pot merge mult pe jos; fiecare dintre ei merge cu aceeași viteză - să zicem 6 km/oră. Gelu are o problemă la un picior și conduce un automobil mic care poate transporta două persoane, nu însă trei; viteza mașinii e și ea constantă - să zicem 30 km/oră. Cei trei prieteni convin asupra următoarei scheme: pornesc împreună, Nelu merge în mașină împreună cu Gelu, în timp ce Relu merge pe jos. După un timp, Gelu se oprește, iar Nelu coboară, continuîndu-și drumul pe jos. Gelu se întoarce ca să îl ia pe Relu, după care Gelu și Relu merg cu mașina până îl ajung din urmă pe Nelu. În acest punct, se efectuează schimbul: Nelu se urcă în mașină și Relu pornește pe jos, exact ca în momentul când au început, și întregul procedeu se repetă ori de câte ori este necesar.
Cât înaintează (cu câți kilometri) pe oră toți trei?
Ordonare:
După relevanţă
Eu m-am pierdut undeva pe la 30 de kilometri între Gelu, Relu şi Nelu. Am pierdut mult? 
Răspunde
Răspunde 
La momentul de timp "t" cand masina s-a oprit avem:
Relu a parcurs o distanta D=6Km*t
Gelu si Nelu au parcurs o distanta D1=30km*t=5*6Km*t=5D
Deci distanta pe care Gelu si Nelu (5D) au parcurs-o e de cinci ori distanta parcursa de Relu. (D)
Acum Gelu se duce sa il iar pe Relu.
Distanta dintre cei doi este 4D.
Timpul necesar pentru a ajunge la el este: t2=4D/(6km/h+30km/h)=4D/36km/h
In timpul asta Nelu a mai parcurs o distanta D1=6km/h * t2=6km/h *(4D/36km/h)=4D/6km/h
Acum Gelu si Relu pornesc dupa Nelu, iar distanta dintre ei este: 4D+4D/6km/h
Ma rog cam asta ar fi prima ideea care imi vine, metoda bruta.
Fiindcă urmează să plec într-o mini-vacanță, m-am mai gândit la problema asta și, pentru că eu am lansat-o, sunt dator să prezint o variantă de rezolvare. E foarte posibil ca alții să găsească căi mai ușoare, dar deocamdată eu o propun pe asta:
Am zis mai sus că t1 = t3. Hai să notez viteza mașinii cu m (de la mașină) și cea de mers pe jos cu j (de la jos) și la urmă înlocuiesc cu valorile lor. Ecuația nr. 1 este (reamintesc) mt1 - mt2 + mt3 = mt1 +jt2 + jt3 sau t2(m + j) = t3(m - j) sau t3/t2 = (m + j)/(m - j). Am obținut raportul t3/t2 care este, bineînțeles, si valoarea raportului t1/t2. Să ne reamintim că noi vrem să aflăm viteza cu care se deplasează ansamblul celor trei. O viteză este dată de raportul spațiu/timp. În cazul nostru spațiul este m(t1 - t2 + t3) sau m(2t1 - t2), iar timpul este (t1 + t2 + t3) sau (2t1 + t2). Deci viteza pe care o căutăm va fi dată de raportul m(2t1 - t2)/(2t1 + t2)... Fac o pauză să respir puțin și continui. 
Mă întorc la raportul pe care l-am obținut mai devreme: t1/t2 = (m + j)/(m - j) sau 2t1/t2 = (2m + 2j)/(m - j). Cunoscând niște proprietăți ale proporțiilor (adun sau scad numitorul la numărător), găsesc că (2t1 - t2) = t2(m + 3j)/(m - j) și (2t1 + t2) = t2(3m + j)/(m - j). Și acum viteza căutată:
v = m(2t1 - t2)/(2t1 + t2) = m(m + 3j)/(3m + j) și... gata! (s-a simplificat t2 și m-j)
Dacă înlocuim m = 30 și j = 6, avem v = 15
Deci convoiul avansează cu 15 km/oră.
Bun, acum mai ramane dupa ce te intorci din vacanta sa calculezi care e viteza convoiului (ori distanta parcursa de cel sau cei care se afla in coada convoiului dupa o ora de la start, ca tot cam aia e) daca masina se intoarce la inceput si dupa fiecare schimb la 5 minute (cazul A), la 10 minute (cazul B) si 40 de minute (cazul C). Daca vrei sa te distrezi si mai mult, calculeaza si pana unde ajunge convoiul daca prima data se intoarce dupa 5 minute, a doua oara dupa 10 minute, a treia dupa 5 minute etc. Sa imi zici si mie in cate din cazurile astea se parcurg 15 km dupa o ora de cand s-au pornit. Poti sa iei si alte exemple daca nu iti plac astea.
Problema nu e completa. Oricum, toti trei pot inainta cel mult 6 km intr-o ora si distanta va fi cu atat mai mica cu cat vor face schimbul mai des, pentru ca pierd timp cu treaba asta.
"pentru ca pierd timp cu treaba asta. " - Nu pierd niciun timp. Problema nu e una practică, ci una de matematică, unde, teoretic, schimbul se face fără pierderi. Și de ce nu e completă problema?
Ma gandeam la faptul ca nu ai zis cat de des fac schimbul si cat timp se pierde la fiecare schimb, dar daca stabilesti ca schimbul se face fara pierderi atunci raspunsul e 6 km. Tot timpul va fi cineva care merge pe jos si viteza lui e de 6 km/ora si daca nu luam in calcul timpul pierdut cu schimburile atunci nici nu mai e nimic de calculat.
Nu chiar. Ești tentat să crezi că nu mai e nimic de calculat, dar este. Nu poți să ajungi la rezultat (care e mai mult de 6 km/oră) fără să apelezi la niște ecuații.
Ai dreptate, toti 3 pot merge mai mult de 6 km si ce ti-am zis eu era valabil daca atunci cand se intorcea masina avea tot doi oameni si faceau schimb, dar nu vad ce ecuatii ar putea rezolva problema daca nu iei in calcul intervalele de timp la care se intoarce masina. Degeaba il duce cu masina pe primul om pana nu stiu unde, daca nu mai apuca sa se intoarca dupa celalalt sa il duca macar cat de cat, ca sa inainteze mai repede.
Problema am știut-o demult. Încerc și eu să mi-o reamintesc. Cred că trebuie mai întâi să separăm diversele părți ale condiției. Avem trei faze diferite: 1. G merge în mașină cu N. 2. G merge în mașină singur. 3. G merge în mașină cu R. Să notăm cu t1, t2, t3 duratele respective ale acestor faze.
Între punctul de pornire și cel de întâlnire, fiecare dintre cei trei a parcurs aceeași distanță. Distingem două părți ale condiției:
G a parcurs același spațiu ca și N. Adică 30t1 - 30t2 + 30t3 = 30t1 + 6t2 + 6t3.
N a parcurs tot același spațiu ca și R. Adică 30t1 + 6t2 + 6t3 = 6t1 + 6t2 + 30t3.
Ecuația a doua este (30 - 6)t1 = (30 - 6)t3 și am găsit t1 = t3
Cred că așa trebuie pornit. Ne ocupăm în continuare de ecuația 1. O să mă mai gândesc.
Numai noi comentăm pe topical ăsta? 
Numai noi comentam, dar sunt sigur 100% ca mai sunt si altii care calculeaza 
Ceea ce e o ideee mai buna decat sa se grabeasca sa traga concluzii, fara sa se gandeasca prea mult, asa cum am facut eu aseara.
Daca iei doua cazuri diferite, de exemplu unul in care G se intoarce dupa R dupa 5 minute si altul in care se intoarce dupa 10 minute, o sa vezi ca o sa iti dea rezultate diferite cand calculezi t1, t2 si t3 si t1 diferit de t3. Plus ca daca iei un interval prea mare de timp ( de exemplu 40 de minute), G il duce pe N destul de departe, dar nu mai apuca sa se intoarca dupa R, asa ca R o sa inainteze numai 6 km intr-o ora.
Oricum, in afara de faptul ca nu se zice dupa cat timp de la plecare se intoarce G dupa R, nu se spune nici cat timp merge pana se intoarce dupa el iar si de cate ori face asta. De asta eu zic ca problema nu e completa ori cerinta nu e asta, pentru ca problema suna ca si cum distanta parcursa de cei trei ar fi aceeasi indiferent de numarul de intoarceri si de timpul care trece intre ele si asta nu are cum sa fie asa.
"o sa vezi ca o sa iti dea rezultate diferite cand calculezi t1, t2 si t3 si t1 diferit de t3"
Eu am calculat matematic si am găsit t1 = t3. Egalitatea t1 = t3 se obține independent de intervalul la care G se întoarce.
Răspunsul este publicat...
Te rugăm să aştepţi ca răspunsul tău să fie trimis spre publicare.
