Tot jucandu-ma cu niste bucati de hartie mi-a venit in minte urmatoarea intrebare.
Sa presupunem ca avem un patrat din hartie cu latura de 1. Suprafata lui va fi tot 1.
Prima regula a jocului este ca trebuie sa indoim colturile patratului in asa fel incat varful coltului indoit sa ramana pe dreapta ce uneste coltul indoit cu coltul diametral opus.
A doua regula este ca trebuie sa indoim orice colt atat de mult incat varful sau sa atinge fie varful coltului diametral opus, fie latura unui colt adiacent care a fost deja indoit.

Un mod posibil ar fi sa impaturim efectiv patratul in doua, pe diagonala. In acest fel vom ramane cu un triunghi ce are doar jumatate din aria patratului. 1/2 mai exact.

Alta varianta ar fi sa indoim toate cele patru colturi in asa fel incat varfurile lor sa se intalneasca in centrul patratului. In acest caz suprafata rezultanta va fi tot jumatate din cea initiala. Adica 1/2.

De fapt, oricum am indoi colturile, atat timp cat respectam regulile mentionate, nu vom putea reduce suprafata patratului la mai putin de 1/2 din suprafata initiala. 1/2 este suprafata minima.

Care credeti ca este suprafata maxima pe care o putem obtine, respectand regulile mentionate. Ar trebui sa fie undeva in intervalul [1; 1/2], dar oare cat este?

Oricum indoi hartia, suprafata ramanr neschimbata (1).

Vad ca nu mai incearca nimeni asa ca am sa postez raspunsul.
Dupa ce indoim toate cele patru colturi ale patratului, conform regulilor mentionate anterior, vom constata ca din aria initiala lipsesc patru triunghiuri dreptunghice. Unul din triunghiuri va fi mai mare decat toate. Iar celelalte trei triunghiuri ramase vor fi identice intre ele.
Fiecare din aceste triunghiuri dreptunghice reprezinta o jumatate de patrat, iar pentru simplitatea calculelor ne putem raporta direct la aria acestor patru patrate.

Logica este simpla, cu cat aria acestor patru patrate va fi mai mica, cu atat vom pierde mai putin din patratul initial, iar aria ramasa va fi mai mare.

Deci dorim sa aflam pentru ce mod specific de impaturire putem obtine aceasta arie minima a celor patru patrate.

Daca notam aria patratului mare cu "b", iar aria patratelor mici cu "a" putem obtine prima relatie:
(1) a+b=1

Aria celor trei patrate mici va fi 3a^2.
Aria patratului mare va fi b^3. Sau, tinand cont si de relatia (1), (1-a)^2=1-2a+a^2

Adunand toate ariile obtinem aria totala A=3a^3 + 1-2a+a^2 Simplificand: A=4a^2-2a+1

Variind parametrul "a", aria patratului mic, putem obtinde diferite valori pentru aria totala A. Noi vrem sa gasim acea valoare a lui "a" pentru care aria totala "A" va avea valoarea minima.

Din fericire pentru noi exista un concept matematic care ne poate ajuta sa gasim minimul unei functii: derivata.

Aplicand regulile de derivare putem calcula derivata functiei A, ca fiind: A'=8a-2

Vrem sa aflam valoarea minima, ceea ce inseamna ca in acel punct tangenta la grafic va fi orizontala: panta acelei tangente fiind practic zero.
Derivata este prin definitie panta tangentei, deci daca vrem sa aflam valoarea "a" in care functia atinge un minim trebuie sa punem conditia:

A'=0
sau
8a-2=2

De unde rezulta: a=4/8=1/4
Inlocuind pe "a" in formula initiala a ariei A, obtinem: A=3/4
Am lucrat cu arii de patrate deoarece era mai simplu, dar noi pierdem arii de triunghiuri din suprafata initiala. Pierdem A/2. Adica 3/8 este aria pe care o vom pierde din patratul initial.
Patrat care sim ca avea aria 1, prin urmare 1-3/8=5/8=0,625 este aria maxima pe care o putem avea.

Subscriu la comentariul lui Seba

Stereometria nu doar presupune ci si afirma ca exista corpuri/figuri in spatiu.


Intrebare este de ce ne-ar interesa extensiunea si spatiul daca noi avem liberul arbitru si res cogintans (Descartes). De ce ne-ar interesa res extensa? Suntem noi parte din macrocosmos asa cum spune continuismul lui Spinoza? Exista un joc, dinámica intre corpuri/elemente? De ce m-ar interesa dimensiunile patratului/figura si superficia lui? Credem noi ca, calendarul (ceasul) depind de jocul acestor figuri geometrice? Credem ca linia este un punct in miscare iar aceasta miscare are sarcina electrică? Ce inseamna anima mundi? Ca sa ne intereseze patratul trebuie sa ne placa Universul. Coreografía, contextul, ambietul ca altfel ne credem democrátici. Poate steaua sa ii spuna soarelui sa nu o mai lumineze? Exista o interactiune gravitationala sau electromagnetica care misca lucrurile?

Problema este daca acest patrat ocupa un spatiu sau este spatiul in sine? Daca Universul are o nastere care este diferenta dintre spatiul lui si spatiul patratului? Patratul are masa iar Universul este inorganic lipsit de compozitie? De ce simtim Universul lejer iar materia grea? Care este numarul antomic sau masic al corpurilor?

De exemplu Calea Lactee nu se compara cu substratul/matricea a ceea ce este sublunar. Daca geometría se ocupa de corpuri trebuie sa studieze si calea Lactee ca acolo viata e mai buna. Trebuie sa vada cum viata acolo este o ascensiune iar in alte parti descensiune. Sa se studieze si LOCUL intre Scila și Caribda ca sa nu trecem pe acolo. Trebuie sa spatializam realul. Rationalul trebuie sa reduca realul la identic.

É. Meyerson. Identité et réalité

Iar ti-a plecat prietena?