Curiozităţi matematice.
Am ridicat numărul 376 la puterea a doua şi am obţinut un număr care se termină tot cu 76. L-am ridicat la puterea a treia şi, la fel, numărul obţinut se termină cu 76. La puterea a patra, surpriză, se termină tot cu 76. N-am mai continuat, pentru că numerele sunt prea mari.
Credeţi că dacă acest număr - sau oricare altul terminat în 76 - este ridicat la orice putere ne dă un număr terminat cu 76? De exemplu, 1376 la puterea 23 se va termina cu 76? Dacă da, de ce se întâmplă asta?
Este destul de evident daca analizezi putin modul in care doua numere se inmultesc intre ele.
Spre exemplu, daca inmultesti doua numere A si B intre ele, rezultatul final va fi un numar C care are ultima cifra egala cu ultima cifra a numarului obtinut din produsul ultimelor cifre ale celor doua numere inmultite initial A si B.
1.)Cu alte cuvinte, atat timp cat inmultesti oricare doua numere care se termina in 6 rezultatul va fi un numar ce se termina tot in 6, deoarece 6*6=36, iar ultima acifra a numarului 36 este 6.
Pe de alta parte, daca inmultim oricare doua numere A si B intre ele, rezultatul va fi un numar a carui penultima cifra este egala cu ultima cifra a numarului obtinut din suma a doua numere (ce au fost obtinute prin produsul ultimei cifre a primului numar cu penultima cifra a celui de al doilea numar, respective penultima cifra a primului numar cu ultima cifra a celui de al doiela numar) si numarul egal cu prima cifra a numarului obtinut din produsul ultimelor cifre ale celor doua numere inmultite initial A si B.
2.) Cu alte cuvinte, daca inmultesti doua numere ce se termina cu 76, rezultatul va fi un numar ce are penultima cifra 7.
Asta deoarece: 7*6=42, 6*7=42, iar 6*6=36, prima cifra a lui 36 este 3.
42+42+3=87, ultima cifra a lui 87 este 7. Deci si penultima cifrea a rezultatului va fi 7.
Din 1 si 2 rezulta ca produsul a oricare doua numere ce se termina in 76 va fi un numar ce se termina tot in 76.
P.S.: Este amuzant cum limbajul poate complica ceva atat de simplu.
Pacat ca TPU ne faciliteaza folosirea limbajului matematic, asa cum fac alte platforme.
Răspunde
Este posibil să fie aşa, numai că nu sunt de acord cu exprimarea de la început: "Este destul de evident". 
Răspunde
Pentru ca limba romana este complicata.
Matematic vorbind, daca ai un numar ce are ultima cifra "a", penultima cifra "m" si alt numar ce are ultima cifra "b", penultima cifra "n", atunci produsul lor va fi un numar ce are ultima cifra "x" si penultima cifra "y".
x={a*b/10}*10
Y={(a*n+b*m+[a*b/10])/10}*10
unde {} este partea fractionara si [] este partea intreaga.
"Daca ai un numar ce are penulti" - Cum zici?
Edit - am văzut completarea
Admit că e o problemă relativ uşoară. Dar nici nu cred că ar trebui să venim cu ceva mai grele, nu aici pe TPU. Că odată se răsteşte unu la noi că facem teme
Ordonare:
După relevanţă
Dar de x25 ce zici (ca să nu ne complicăm prea mult) unde "x" e o cifră dif de 0
Răspunde
1. "Credeţi că dacă acest număr - sau oricare altul terminat în 76 - este ridicat la orice putere ne dă un număr terminat cu 76?"
Nu la orice putere, dar la orice putere naturala pozitivă diferita de 0, da, din motivele explicate mai jos.
2. "De exemplu, 1376 la puterea 23 se va termina cu 76?"
Da.
3. "Dacă da, de ce se întâmplă asta?"
Pai poti "prezice" cifra zecilor si cifra unitatilor la rezultatul final numai stiind cifrele unitatilor si cifrele zecilor ale celor doua numere înmulțite. Daca stii ca 76*76 dă un număr terminat în 76 e suficient ca să știi că oricare două numere terminate in 76 înmulțite vor da un alt număr terminat in 76.
Fascinantă joaca asta cu numerele
Not really, e inmultire de bază. Fascinatia se termina dupa prima inmultire cand constati ca 76*76 dă un numar terminat in 76 (ceea ce e strict intamplator, la fel putem sa ne mirăm si ca 6*6 da un numar terminat in 6, 5*5 in 5, 25*25 in 25). Apoi nu mai e nimic fascinant, e ceea ce e firesc sa se intample.
Pe tine din matematică te fascinează ceva? Sau totul e firesc?
Da, avand in vedere ca am terminat Facultatea de Matematica si Informatică, am gasit destule sa ma fascineze. Plus ca nu-s genul care sa faca ceva fara sa fie pasionata.
Am tinut sa precizez facultatea pentru ca vreau si sa mentionez ca acolo se folosesc foarte des afirmatii de tipul "e evident" (chiar se scrie pe tabla/caiet/lucrare acest "evident" cand e vorba de demonstratii banale care se subinteleg si nu merita sa pierzi timpul ca sa le scrii), care am observat ca te-a deranjat pe tine mai devreme. Poate tie ti se pare fascinant, nu stiu...si mie mi s-a parut fascinant la 7 ani cand am descoperit ca 2+2=4 si 2*2=4, dar desi 3+3=6, 3*3 nu da 6. Dupa, cand am inteles clar cum functioneaza inmultirea, mi s-a parut firesc ca 3*3 sa dea 9 si nu 6. Apoi m-a fascinat la liceu cand am vazut ca exista multimi in care 3+3 nu mai da 6. In fine, ce vreau sa spun este ca ti se poate parea fascinant si un lucru firesc daca e nou pentru tine si (poate) nu intelegi pe deplin cum functioneaza inmultirea (n-o lua ca pe un afront ca nu e).
Răspunsul pe care l-ai dat tu la început diferă binişor de cel cu care a venit mai apoi Inferno. Eu încă încerc să înţeleg care din cele două raţionamente este mai bun.
Nu chiar. Ce explica el acolo e modul in care sunt destul de sigura ca faci si tu inmultirea a doua numere mai mari cand nu ai un calculator. Stii, cand le pui unul sub altul, iei fiecare cifra in parte de la dreapta la stanga, înmulțești, etc...doar ca daca incerci sa explici asta in scris suna intr-un mare fel. Esenta e aceeasi cu ce ti-am zis eu (el ti-a si oferit o explicatie, eu am considerat ca nu e necesar): ca ultimele doua cifre ale produsului depind numai de ultimele doua cifre ale termenilor inmultiti.
Ex: Hai sa luăm terminatia 12 de data asta ca sa mai variem. Luam numerele abc12 si xy12, unde a, b, c, x, y sunt cifre ale celor doua numere. Nu ai nevoie de celelalte cifre ca sa stii ca produsul lor va avea ultimele cifre 44, right?
Încercai şi eu un pic mai băbeşte. Am zis că a înmulţi două numere terminate în 76 înseamnă a înmulţi pe (100a+76) cu (100b+76). Şi produsul ăsta ar fi:
10 000 ab + 7600b + 7600a + 5776 = 10 000ab + 7600b + 7600a + 5700 + 76 = 100 (100ab + 76b + 76a + 57) + 76.
Numărul obţinut este deci o sumă dintre un număr terminat cu doi de zero şi 76, adică un număr terminat în 76.
Nu e neaparat babeste. La tine ar fi varianta completa si corecta de fapt, doar ca daca lucrezi des cu ultime cifre, te ia capul sa faci mereu descompunerea asta. Pe de alta parte, inmultirea aia cu care suntem toti obisnuiti pe hartie, cand le asezi unul sub altul, are la baza tot descompunerea asta, doar ca e mai rapida si te ajuta "sa le vezi mai bine" de la inceput.
Răspunsul este publicat...
Te rugăm să aştepţi ca răspunsul tău să fie trimis spre publicare.
